РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1643 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: III

Показательные неравенства

Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наибольшего целого положительного решений неравенства $3 умножить на 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 2x минус 22 умножить на 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x больше 16.$

Решение. Заметим, что неравенство является квадратным относительно показательной функции:

$3 умножить на 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 2x минус 22 умножить на 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x больше 16 равносильно$
$равносильно 3 умножить на левая круглая скобка 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x правая круглая скобка в квадрате минус 22 умножить на 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x минус 16 больше 0.$

Примем $t=64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x,$ тогда имеем:

$3t в квадрате минус 22t больше 16 равносильно левая круглая скобка 3t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,t больше 8. конец совокупности .$ $3t в квадрате минус 22t больше 16 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,t больше 8. конец совокупности .$ $3t в квадрате минус 22t больше 16 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,t больше 8. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной, получим:

$совокупность выражений 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x больше 8 конец совокупности . равносильно 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x больше 8 равносильно 8 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 2x больше 8 в степени 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 39, знаменатель: минус 2x конец дроби больше 1 равносильно \left дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x минус 39, знаменатель: 2x конец дроби меньше 0. левая круглая скобка * правая круглая скобка$ $совокупность выражений 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x больше 8 конец совокупности . равносильно 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x больше 8 равносильно$
$равносильно 8 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 2x больше 8 в степени 1 равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 39, знаменатель: минус 2x конец дроби больше 1 равносильно$
$равносильно \left дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x минус 39, знаменатель: 2x конец дроби меньше 0. левая круглая скобка * правая круглая скобка$ $совокупность выражений 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x больше 8 конец совокупности . равносильно$
$равносильно 64 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 4x больше 8 равносильно$
$равносильно 8 в степени левая круглая скобка \tfracx в квадрате минус 39 правая круглая скобка минус 2x больше 8 в степени 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате минус 39, знаменатель: минус 2x конец дроби больше 1 равносильно$
$равносильно \left дробь: числитель: x в квадрате плюс 2x минус 39, знаменатель: 2x конец дроби меньше 0. левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Найдем корни числителя:

$x в квадрате плюс 2x минус 39=0 равносильно совокупность выражений x = минус 1 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,x = минус 1 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента . конец совокупности .$

Методом интервалов получаем решения неравенства (⁎):

$совокупность выражений 0 меньше x меньше минус 1 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,x меньше минус 1 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента . конец совокупности .$

Наибольшим целым отрицательным решением неравенства является число −8, а наибольшим целым положительным  —число 5. Их произведение равно −40.

Ответ: −40.

Ответ: -40

1643

-40

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1643	-40